Você sabe argumentar.
Mas sabe demonstrar?

Aula 1

Euclides e a invenção do rigor

O que Euclides inaugurou que ninguém antes havia feito: o método axiomático-dedutivo. Como os Elementos diferem de qualquer tratado anterior. O problema da indução e seus limites. A estrutura de um sistema axiomático e o que significa demonstrar algo em vez de apenas verificar ou convencer.

Aula 2

Definições, postulados e noções comuns

Os três tipos de fundamento de qualquer sistema dedutivo. O que é uma boa definição e seus três requisitos. Por que não é possível definir tudo — os termos primitivos. O que legitima um postulado. Os cinco postulados de Euclides examinados um a um, com atenção especial ao Postulado 5.

Aula 3

O que é realmente uma demonstração

A distinção entre demonstração, explicação e persuasão. Os três tipos principais de prova matemática: demonstração direta, por absurdo e por casos. O que faz um argumento ser válido e o que o invalida. Falácias formais e informais.

Aula 4

Primeiras demonstrações

Duas das demonstrações mais importantes da história: a irracionalidade de √2 e a infinitude dos números primos. Cada demonstração é dissecada para expor os fundamentos que usa, o tipo de prova que emprega e o que a tornaria inválida se um passo fosse removido.

Aula 5

Reductio ad absurdum em profundidade

A demonstração por absurdo examinada de dentro: os dois princípios lógicos que a sustentam e a forma canônica do argumento. A objeção intuicionista. Três aplicações filosóficas clássicas: os paradoxos de Zenão, a Terceira Via de Sto. Tomás de Aquino e o cogito de Descartes.

Aula 6

Indução matemática

A distinção entre indução matemática e indução empírica de Hume. O Axioma 5 de Peano e por que o argumento não é circular. A indução forte e o princípio do menor elemento. Por que o silogismo aristotélico não captura a indução matemática.

Aula 7

Sistemas axiomáticos além de Euclides

O método axiomático como gerador universal de estruturas. Cinco sistemas examinados: geometrias não-euclidianas e o colapso do apriorismo kantiano; aritmética de Peano; teoria dos grupos; teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel; lógicas não-clássicas. Necessidade relativa versus absoluta.

Aula 8

Conjuntos e a linguagem dos fundamentos

A teoria dos conjuntos como linguagem em que toda a matemática pode ser expressa. Os infinitos de Cantor: por que há infinitos de tamanhos diferentes, a demonstração pelo argumento diagonal e a hierarquia de cardinalidades. A hipótese do contínuo como paralelo exato do Postulado 5.

Aula 9

Paradoxos e os limites do rigor

O paradoxo de Russell e o colapso do sistema de Frege. Os dois teoremas de incompletude de Gödel: o que eles dizem e o que não dizem. O paradoxo do mentiroso e a hierarquia de Tarski. O teorema de Banach-Tarski. Implicações para a filosofia da mente e para a teologia natural.

Aula 10

Necessidade, contingência e demonstração

A distinção entre verdades necessárias e contingentes na tradição aristotélico-tomista. Os tipos de necessidade: lógica, metafísica, matemática, física. O estatuto ontológico das verdades matemáticas: platonismo, formalismo, realismo moderado aristotélico. O conceptualismo divino.

Aula 11

Como pensar a partir de fundamentos

O método de quatro passos para construir qualquer argumento rigoroso: do problema à tese, da tese às premissas explícitas, das premissas à conclusão necessária, da conclusão às implicações e limites. Aplicações em filosofia, teologia, direito e ciência.

Aula 12

A mente euclidiana na vida intelectual

Síntese de todo o percurso. As quatro transformações concretas em quem incorpora o método: paciência com a precisão, desconfiança saudável do óbvio, honestidade sobre os limites, disposição de seguir o argumento. A tradição de Euclides a Sto. Tomás de Aquino — o que ela exige e oferece.